গাণিতিক যুক্তি (বিসিএস প্রিলিমিনারি)• অধ্যায় ১

বাস্তব সংখ্যা, লসাগু ও গসাগু, বিভাজ্যতা ও ভগ্নাংশ

বিসিএসগাণিতিক যুক্তি (বিসিএস প্রিলিমিনারি)অধ্যায় ১✓ ফ্রি ডেমো

বাস্তব সংখ্যা, লসাগু ও গসাগু, বিভাজ্যতা ও ভগ্নাংশ

অধ্যায় চেকপয়েন্ট ও পাঠ অগ্রগতি০/৫ সম্পন্ন

চেকপয়েন্টে ক্লিক করে সরাসরি ঐ অংশে পড়ুন এবং প্রস্তুতি সম্পন্ন করুন

সামগ্রিক পাঠ সমাপ্তি০%
১
চেকপয়েন্ট ১ / ৫
ভূমিকা ও মূল বিষয়বস্তু

বাস্তব সংখ্যা, লসাগু-গসাগু, বিভাজ্যতা ও ভগ্নাংশ হলো বিসিএস প্রিলিমিনারি গণিত সিলেবাসের পাটিগণিত অংশের (মোট ৩ নম্বর) অন্যতম প্রধান মৌলিক অধ্যায়। প্রতি বছর বিসিএস প্রিলিমিনারি পরীক্ষায় এখান থেকে ২ থেকে ৩টি প্রশ্ন নিশ্চিত থাকে।

চেকপয়েন্ট ১ এর ৫
মনে রাখার মতো তথ্য
১১ মৌলিক সংখ্যাও নয়, যৌগিক সংখ্যাও নয়; এটি একটি অনন্য একক সংখ্যা।
২২ হলো সবচেয়ে ছোট মৌলিক সংখ্যা এবং সমগ্র গণিতের একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা।
৩১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মোট ২৫টি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে (কোড: ৪৪২২৩২২৩২১)।
৪১ থেকে ৫০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ১৫টি এবং ৫১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ১০টি।
৫১০০ থেকে ২০০ পর্যন্ত মোট ২১টি মৌলিক সংখ্যা বিদ্যমান।
৬পূর্ণবর্গ নয় এমন যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল সর্বদা একটি অমূলদ সংখ্যা (যেমন: √২, √৩, √৫, √৬)।
৭পাই (π = ৩.১৪১৫৯...) এবং অয়লার ধ্রুবক (e = ২.৭১৮২৮...) হলো আন্তর্জাতিকভাবে প্রতিষ্ঠিত অমূলদ সংখ্যা।
৮সকল সসীম দশমিক সংখ্যা এবং অসীম আবৃত পৌনঃপুনিক দশমিক সংখ্যা সর্বদা মূলদ সংখ্যা।
৯দুটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফল সর্বদা ২ দ্বারা বিভাজ্য এবং তিনটি ক্রমিক সংখ্যার গুণফল ৬ দ্বারা বিভাজ্য।
১০দুটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যাদ্বয়ের গ.সা.গু × সংখ্যাদ্বয়ের ল.সা.গু।
১১দুটি সংখ্যার অনুপাত a:b এবং গ.সা.গু x হলে সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ax ও bx, এবং তাদের ল.সা.গু হবে abx।
১২ভগ্নাংশের গ.সা.গু = লবগুলোর গ.সা.গু / হরগুলোর ল.সা.গু; ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লবগুলোর ল.সা.গু / হরগুলোর গ.সা.গু।
১৩কোনো সংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগফল ৯ দ্বারা বিভাজ্য হলে মূল সংখ্যাটিও ৯ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।
১৪কোনো সংখ্যার শেষ দুই অঙ্ক ৪ দ্বারা বিভাজ্য হলে সম্পূর্ণ সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
১৫দুটি সংখ্যার গ.সা.গু সর্বদা তাদের ল.সা.গু-এর একটি গুণনীয়ক বা উৎপাদক হবে।
১৬পরস্পর সহমৌলিক দুটি সংখ্যার গ.সা.গু সর্বদা ১ এবং তাদের ল.সা.গু সংখ্যা দুটির গুণফলের সমান।
শব্দার্থ ও টীকা
বাস্তব সংখ্যা (Real Numbers)

সকল মূলদ ও অমূলদ সংখ্যার সমন্বিত সেটকে বাস্তব সংখ্যা বলে (ℝ)

স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural Numbers)

১ থেকে শুরু করে ধনাত্মক পূর্ণ অখণ্ড গণনাকারী সংখ্যা (ℕ: ১, ২, ৩...)

পূর্ণসংখ্যা (Integers)

শূন্যসহ সকল ধনাত্মক ও ঋণাত্মক পূর্ণ মান (ℤ: ...-২, -১, ০, ১, ২...)

মৌলিক সংখ্যা (Prime Number)

১-এর চেয়ে বড় সংখ্যা যার ১ ও সংখ্যাটি ছাড়া অন্য উৎপাদক নেই

যৌগিক সংখ্যা (Composite Number)

১-এর চেয়ে বড় যে সংখ্যার ১ ও ঐ সংখ্যা ছাড়াও অন্য গুণনীয়ক আছে

সহমৌলিক (Co-prime)

দুটি সংখ্যার গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (গ.সা.গু) ১ হলে তারা পরস্পর সহমৌলিক

মূলদ সংখ্যা (Rational Number)

যে সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় (p, q পূর্ণসংখ্যা, q ≠ 0)

অমূলদ সংখ্যা (Irrational Number)

যে সংখ্যাকে দুটি পূর্ণসংখ্যার ভগ্নাংশ p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না

আবৃত দশমিক (Recurring Decimal)

দশমিকের পর এক বা একাধিক অঙ্ক পর্যায়ক্রমে বারবার ফিরে আসলে

অনাবৃত দশমিক (Non-recurring)

দশমিকের পর অঙ্কগুলো কোনো পুনরাবৃত্তিমূলক প্যাটার্ন ছাড়াই অসীম চলা

গুণনীয়ক / উৎপাদক (Factor)

যেসব সংখ্যা দ্বারা কোনো নির্দিষ্ট সংখ্যাকে নিঃশেষে ভাগ করা যায়

গুণিতক (Multiple)

কোনো সংখ্যাকে যেকোনো পূর্ণসংখ্যা দিয়ে গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যায়

গ.সা.গু (HCF / GCD)

গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক; প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে সবচেয়ে বড় সাধারণ উৎপাদক

ল.সা.গু (LCM)

লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক; প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে সবচেয়ে ছোট সাধারণ গুণিতক

প্রকৃত ভগ্নাংশ (Proper Fraction)

যে ভগ্নাংশের লব হরের চেয়ে ছোট (মান সর্বদা ১-এর কম)

অপ্রকৃত ভগ্নাংশ (Improper)

যে ভগ্নাংশের লব হরের চেয়ে বড় বা সমান (মান ১ বা ১-এর চেয়ে বেশি)

মিশ্র ভগ্নাংশ (Mixed Fraction)

একটি পূর্ণসংখ্যার সাথে একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ যুক্ত থাকলে

বিপরীত ভগ্নাংশ (Reciprocal)

লবকে হর এবং হরকে লব বানিয়ে প্রাপ্ত ভগ্নাংশ (গুণফল সর্বদা ১)

বিভাজ্যতা (Divisibility)

ভাগশেষ না রেখে কোনো সংখ্যাকে অন্য সংখ্যা দিয়ে নিঃশেষে ভাগের শর্ত

ভাগশেষ (Remainder)

নিঃশেষে বিভাজ্য না হলে ভাগ প্রক্রিয়ার শেষে যা অবশিষ্ট থাকে

ভাজক (Divisor)

যে সংখ্যা দিয়ে অন্য কোনো সংখ্যাকে ভাগ করা হয়

ভাজ্য (Dividend)

যে সংখ্যাকে ভাগ করা হয় (ভাজ্য = ভাজক × ভাগফল + ভাগশেষ)

ভাগফল (Quotient)

ভাগ করার পর যে ফল পাওয়া যায়

অঙ্ক (Digit)

সংখ্যা প্রকাশের প্রতীক (০ থেকে ৯ পর্যন্ত মোট ১০টি অঙ্ক)

সার্থক অঙ্ক (Significant Digit)

১ থেকে ৯ পর্যন্ত অশূন্য ৯টি অঙ্ককে সার্থক অঙ্ক বলা হয়

বইয়ের অনুশীলনীর উত্তর

অনুশীলনীর প্রশ্নগুলো সবার জন্য খোলা — পূর্ণাঙ্গ উত্তর দেখতে সাবস্ক্রিপশন নিন

সাবস্ক্রিপশন নিন

ফ্রিতে উত্তর দেখতে চান?

১টি সংক্ষিপ্ত ভিডিও বিজ্ঞাপন দেখলেই এই অধ্যায়ের সমস্ত উত্তর আগামী ২৪ ঘণ্টার জন্য ফ্রি আনলক হবে!

প্রশ্ন ১দুটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৬ এবং তাদের গ.সা.গু ৪ হলে, সংখ্যা দুটির ল.সা.গু এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কত?

উত্তর দেখতে সাবস্ক্রিপশন লাগবে।

প্রশ্ন ২কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ১০০ ও ১৮৪ কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে ৪ ভাগশেষ থাকবে?

উত্তর দেখতে সাবস্ক্রিপশন লাগবে।

প্রশ্ন ৩চারটি ঘণ্টা একত্রে বেজে যথাক্রমে ৬, ৯, ১২ ও ১৫ সেকেন্ড অন্তর বাজতে লাগল। কতক্ষণ পর ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে? ১ ঘণ্টায় তারা কতবার একত্রে বাজবে?

উত্তর দেখতে সাবস্ক্রিপশন লাগবে।

প্রশ্ন ৪০.২৩̇ এবং ০.১২̇৪̇ (২ ও ৪ এর উপর পৌনঃপুনিক) কে সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করে তাদের যোগফল নির্ণয় করুন।

উত্তর দেখতে সাবস্ক্রিপশন লাগবে।

উদ্দীপক আর প্রশ্ন সবার জন্য খোলা — পূর্ণ উত্তর দেখতে সাবস্ক্রিপশন নিন

সাবস্ক্রিপশন নিন

ফ্রিতে সৃজনশীলের উত্তর পড়তে চান?

১টি সংক্ষিপ্ত ভিডিও বিজ্ঞাপন দেখলেই এই অধ্যায়ের সমস্ত সৃজনশীল সমাধান আগামী ২৪ ঘণ্টার জন্য ফ্রি আনলক হবে!

সৃজনশীল প্রশ্ন ১১০ নম্বর
উত্তর প্রিমিয়াম

উদ্দীপক

একটি সরকারি প্রাথমিক বিদ্যালয়ের বার্ষিক ক্রীড়া প্রতিযোগিতায় তিনটি ভিন্ন গ্রুপের শিক্ষার্থীদের যথাক্রমে ২৪, ৩৬ ও ৬০ জনের সারিতে সাজাতে হবে। শিক্ষক এমন একটি ব্যবস্থা করতে চান যেন প্রতিটি সারিতে সমান সংখ্যক শিক্ষার্থী থাকে এবং কোনো শিক্ষার্থী অবশিষ্ট না থাকে। অন্যদিকে মাঠের একটি বৃত্তাকার ট্র্যাকে ৩ জন প্রতিযোগী যথাক্রমে ১২, ১৫ ও ১৮ সেকেন্ডে একবার চক্কর শেষ করে।

ক

মৌলিক সংখ্যা কাকে বলে? সবচেয়ে ছোট মৌলিক সংখ্যাটি লিখুন।জ্ঞানমূলক — ১

খ

শিক্ষার্থীদের প্রতিটি সারিতে সর্বোচ্চ কতজন করে রাখলে কোনো শিক্ষার্থী অবশিষ্ট থাকবে না?অনুধাবনমূলক — ২

গ

প্রতিটি গ্রুপ থেকে কয়টি করে মোট কতটি সারি তৈরি হবে তা নির্ণয় করুন।প্রয়োগমূলক — ৩

ঘ

ট্র্যাকের প্রতিযোগীরা এক সাথে দৌড় শুরু করার কতক্ষণ পর পুনরায় প্রথম প্রারম্ভিক বিন্দুতে মিলিত হবে? বিশ্লেষণ করুন।উচ্চতর দক্ষতা — ৪

সৃজনশীল প্রশ্ন ২১০ নম্বর
উত্তর প্রিমিয়াম

উদ্দীপক

একটি কৃষি সমবায় সমিতির গুদামে কিছু ধান এমনভাবে বস্তাবন্দী করতে হবে যেন প্রতি বস্তায় ১২ কেজি, ১৬ কেজি বা ২০ কেজি করে ভরলে প্রতিক্ষেত্রে ৫ কেজি ধান অবশিষ্ট থাকে। আবার অন্য একটি চালের স্তূপ থেকে দুটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৪ এবং তাদের গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (গ.সা.গু) পাওয়া গেল ৮।

ক

পরস্পর সহমৌলিক সংখ্যা বলতে কী বোঝায়? উদাহরণ দিন।জ্ঞানমূলক — ১

খ

সমিতির গুদামে নূন্যতম কত কেজি ধান ছিল তা নির্ণয় করুন।অনুধাবনমূলক — ২

গ

উদ্দীপকের চালের স্তূপের সংখ্যা দুটি এবং তাদের লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (ল.সা.গু) নির্ণয় করুন।প্রয়োগমূলক — ৩

ঘ

যদি চালের স্তূপের সংখ্যাদ্বয়ের বর্গের অন্তর কোনো মৌলিক সংখ্যা হয়, তবে তা পরীক্ষা করে মতামত দিন।উচ্চতর দক্ষতা — ৪

সৃজনশীল প্রশ্ন ৩১০ নম্বর
উত্তর প্রিমিয়াম

উদ্দীপক

গণিত ক্লাসে শিক্ষক বোর্ডে চারটি ভগ্নাংশ লিখলেন: P = ৫/৭, Q = ৭/৯, R = ১১/১৩ এবং S = ০.৪৫̇ (৫ এর ওপর পৌনঃপুনিক)। শিক্ষক বললেন, বাস্তব সংখ্যায় মূলদ ও অমূলদ সংখ্যার ধারণা অত্যন্ত স্পষ্ট। তিনি ছাত্রদের P, Q, R-এর আকার তুলনা করতে এবং S-কে মূলদীয় ভগ্নাংশে রূপান্তর করতে বললেন।

ক

মূলদ সংখ্যা ও অমূলদ সংখ্যার মূল পার্থক্য কী?জ্ঞানমূলক — ১

খ

S = ০.৪৫̇ কে সাধারণ মূলদীয় ভগ্নাংশে রূপান্তর করুন।অনুধাবনমূলক — ২

গ

P, Q এবং R ভগ্নাংশ তিনটির মধ্যে কোনটি বৃহত্তম এবং কোনটি ক্ষুদ্রতম তা আড়াআড়ি গুণ পদ্ধতিতে নির্ধারণ করুন।প্রয়োগমূলক — ৩

ঘ

যদি √P একটি সংখ্যা হয়, তবে এটি মূলদ নাকি অমূলদ সংখ্যা হবে? গাণিতিকভাবে প্রমাণ করুন।উচ্চতর দক্ষতা — ৪

সৃজনশীল প্রশ্ন ৪১০ নম্বর
উত্তর প্রিমিয়াম

উদ্দীপক

একটি ছয় অঙ্কের সংখ্যা হলো ৫A৭২৩B। সংখ্যাটি ৮ এবং ৯ উভয় দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য। অপর একটি সমস্যায় দেখা গেল, কোনো একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাকে ১৩ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে ৮।

ক

একটি সংখ্যা ৮ দ্বারা বিভাজ্য হওয়ার শর্ত কী?জ্ঞানমূলক — ১

খ

উদ্দীপকের উদ্দীপকে প্রদত্ত সংখ্যাটির জন্য B-এর সম্ভাব্য একক মান নির্ণয় করুন।অনুধাবনমূলক — ২

গ

B = ২ হলে, সংখ্যাটি ৯ দ্বারা বিভাজ্য হওয়ার জন্য A-এর মান কত হবে?প্রয়োগমূলক — ৩

ঘ

উদ্দীপকের দ্বিতীয় সংখ্যাটির বর্গের সাথে ৫ যোগ করে প্রাপ্ত সংখ্যাটিকে ১৩ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত থাকবে? বিশ্লেষণ করুন।উচ্চতর দক্ষতা — ৪

এই অধ্যায় পড়া কি শেষ হয়েছে?

পড়া শেষ হলে চিহ্নিত করুন যাতে আপনার সার্বিক অগ্রগতি ট্র্যাক করা যায়।