ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক
অধ্যায় চেকপয়েন্ট ও পাঠ অগ্রগতি০/১৩ সম্পন্ন
চেকপয়েন্টে ক্লিক করে সরাসরি ঐ অংশে পড়ুন এবং প্রস্তুতি সম্পন্ন করুন
ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক উচ্চতর গণিত এবং আধুনিক বিজ্ঞানের (পদার্থবিজ্ঞান, প্রকৌশল, কম্পিউটার বিজ্ঞান ও অর্থনীতি) অন্যতম ভিত্তিপ্রস্তর। ১৮৫০ সালে ব্রিটিশ গণিতবিদ জেমস জোসেফ সিলভেস্টার (James Joseph Sylvester) প্রথম 'Matrix' শব্দটি ব্যবহার করেন এবং পরবর্তীতে ১৮৫৮ সালে আর্থার কেলি (Arthur Cayley) ম্যাট্রিক্সের বীজগণিতীয় রূপরেখা ও নিয়মকানুন প্রতিষ্ঠা করেন। অন্যদিকে ১৬৮৩ সালে জাপানি গণিতবিদ সেকি কোওয়া এবং জার্মান গণিতবিদ গটফ্রিড উইলহেম লাইবনিজ স্বাধীনভাবে নির্ণায়কের (Determinant) ধারণা উদ্ভাবন করেন।
বাস্তব বা জটিল সংখ্যাকে সারি ও কলাম আকারে আয়তাকার সজ্জায় সাজিয়ে বন্ধনী দ্বারা আবদ্ধ রূপ।
যেকোনো বর্গ ম্যাট্রিক্সের সাথে সম্পর্কিত একটি বিশেষ বাস্তব বা জটিল স্কেলার মান।
একটি ম্যাট্রিক্সে বিদ্যমান সারি সংখ্যা m এবং কলাম সংখ্যা n এর গুণফল নির্দেশক রূপ (m × n)।
বর্গ ম্যাট্রিক্সের ১ম সারি ১ম কলামের ভুক্তি হতে শুরু করে শেষ সারি শেষ কলামের ভুক্তি বরাবর কর্ণ।
বর্গ ম্যাট্রিক্সের প্রধান কর্ণে অবস্থিত ভুক্তিসমূহের বীজগাণিতিক যোগফল।
যে কর্ণ ম্যাট্রিক্সের প্রধান কর্ণের অশূন্য উপাদানগুলো পরস্পর সমান।
যে স্কেলার ম্যাট্রিক্সের প্রধান কর্ণের প্রতিটি ভুক্তির মান ১ এবং অন্য সব উপাদান শূন্য।
যে বর্গ ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ মূল ম্যাট্রিক্সের সমান (A^T = A)।
যে বর্গ ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ মূল ম্যাট্রিক্সের ঋনাত্মক মানের সমান (A^T = -A; কর্ণের ভুক্তিগুলো শূন্য)।
যে বর্গ ম্যাট্রিক্সকে নিজের সাথে গুণ করলে পুনরায় সেই ম্যাট্রিক্সই পাওয়া যায় (A² = A)।
যে বর্গ ম্যাট্রিক্সের কোনো ধনাত্মক পূর্ণঘাতের মান শূন্য ম্যাট্রিক্স হয় (A^k = O)।
যে বর্গ ম্যাট্রিক্সের বর্গ করলে একক ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায় (A² = I)।
যে বর্গ ম্যাট্রিক্সের সাথে তার ট্রান্সপোজ গুণ করলে একক ম্যাট্রিক্স হয় (A · A^T = I)।
কোনো ম্যাট্রিক্সের সারিগুলোকে কলামে এবং কলামগুলোকে সারিতে স্থানান্তর করে প্রাপ্ত ম্যাট্রিক্স (A^T)।
দুটি সমমাত্রার ম্যাট্রিক্সের একই সারি ও কলামের অবস্থানে থাকা ভুক্তি।
নির্ণায়কের কোনো উপাদানের সংশ্লিষ্ট সারি ও কলাম বাদ দিয়ে গঠিত ক্ষুদ্রতর নির্ণায়কের মান।
অনূরাশির পূর্বে (-1)^(i+j) চিহ্ন যুক্ত করে প্রাপ্ত যথোপযুক্ত চিহ্নযুক্ত মান।
যে বর্গ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের মান শূন্য (|A| = 0), যার বিপরীত ম্যাট্রিক্স নেই।
যে বর্গ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের মান অশূন্য (|A| ≠ 0), যার বিপরীত ম্যাট্রিক্স বিদ্যমান।
বর্গ ম্যাট্রিক্সের সহগুণকগুলো দ্বারা গঠিত ম্যাট্রিক্সের রূপান্তরিত বা ট্রান্সপোজ ম্যাট্রিক্স।
অব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স A এর জন্য এমন একটি ম্যাট্রিক্স A⁻¹ যার গুণফল A · A⁻¹ = I।
নির্ণায়কের অনুপাত (Dx/D, Dy/D, Dz/D) ব্যবহার করে একঘাত সমীকরণ জোট সমাধানের পদ্ধতি।
যে বর্গ ম্যাট্রিক্সের প্রধান কর্ণের নিচের সকল উপাদান শূন্য (a_ij = 0 যখন i > j)।
যে বর্গ ম্যাট্রিক্সের প্রধান কর্ণের উপরের সকল উপাদান শূন্য (a_ij = 0 যখন i < j)।
গুণফলের ট্রান্সপোজ বা ইনভার্সের ক্ষেত্রে ক্রম পরিবর্তনের নিয়ম: (AB)^T = B^T A^T, (AB)⁻¹ = B⁻¹ A⁻¹।
অনুশীলনীর প্রশ্নগুলো সবার জন্য খোলা — পূর্ণাঙ্গ উত্তর দেখতে সাবস্ক্রিপশন নিন
সাবস্ক্রিপশন নিনফ্রিতে উত্তর দেখতে চান?
১টি সংক্ষিপ্ত ভিডিও বিজ্ঞাপন দেখলেই এই অধ্যায়ের সমস্ত উত্তর আগামী ২৪ ঘণ্টার জন্য ফ্রি আনলক হবে!
প্রশ্ন ১যদি A = [[1, 2], [3, 4]] এবং B = [[2, 0], [1, 3]] হয়, তবে AB এবং BA নির্ণয় করে দেখাও যে AB ≠ BA।
উত্তর দেখতে সাবস্ক্রিপশন লাগবে।
প্রশ্ন ২নির্ণায়কের ধর্মাবলম্বন করে প্রমাণ করো যে:\n| 1 a a² |\n| 1 b b² | = (a - b)(b - c)(c - a)\n| 1 c c² |
উত্তর দেখতে সাবস্ক্রিপশন লাগবে।
প্রশ্ন ৩A = [[2, 1], [5, 3]] ম্যাট্রিক্সটির বিপরীত ম্যাট্রিক্স (A⁻¹) নির্ণয় করো এবং দেখাও যে A · A⁻¹ = I₂।
উত্তর দেখতে সাবস্ক্রিপশন লাগবে।
প্রশ্ন ৪ক্র্যামারের নিয়ম ব্যবহার করে নিচের একঘাত সহসমীকরণ জোটটি সমাধান করো:\nx + y + z = 6\nx - y + z = 2\n2x + y - z = 1
উত্তর দেখতে সাবস্ক্রিপশন লাগবে।
উদ্দীপক আর প্রশ্ন সবার জন্য খোলা — পূর্ণ উত্তর দেখতে সাবস্ক্রিপশন নিন
সাবস্ক্রিপশন নিনফ্রিতে সৃজনশীলের উত্তর পড়তে চান?
১টি সংক্ষিপ্ত ভিডিও বিজ্ঞাপন দেখলেই এই অধ্যায়ের সমস্ত সৃজনশীল সমাধান আগামী ২৪ ঘণ্টার জন্য ফ্রি আনলক হবে!
উদ্দীপক
নিচে দুটি বর্গ ম্যাট্রিক্স দেওয়া হলো:\nA = [[1, 2], [3, 4]] এবং B = [[-2, 1], [3/2, -1/2]]\nআবার C = [[p, 3], [4, p - 1]] একটি অজ্ঞাত চলকযুক্ত ম্যাট্রিক্স।
বক্র-প্রতিসম ম্যাট্রিক্স কাকে বলে?জ্ঞানমূলক — ১
p এর মান কত হলে C ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী হবে?অনুধাবনমূলক — ২
প্রমাণ করো যে, B ম্যাট্রিক্সটি A ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স।প্রয়োগমূলক — ৩
দেখাও যে, (AB)^T = B^T A^T।উচ্চতর দক্ষতা — ৪
উদ্দীপক
গণিত ক্লাসে শিক্ষক বোর্ডে একটি বিশেষ নির্ণায়ক লিখলেন:\nΔ = | x+y z 1 |\n | y+z x 1 |\n | z+x y 1 |\nএবং অপর একটি ৩য় ক্রমের নির্ণায়ক D = | 1 1 1 | / | a b c | / | a³ b³ c³ | উপস্থাপন করলেন।
নির্ণায়কের অনুরাশি ও সহগুণকের মধ্যে পার্থক্য কী?জ্ঞানমূলক — ১
বিস্তার না করে দেখাও যে উদ্দীপকের প্রথম নির্ণায়ক Δ = 0।অনুধাবনমূলক — ২
প্রমাণ করো যে, D = (a - b)(b - c)(c - a)(a + b + c)।প্রয়োগমূলক — ৩
যদি a, b, c বাস্তব ও ভিন্ন হয় এবং D = 0 হয়, তবে a, b, c এর সম্পর্ক মূল্যায়ন করো।উচ্চতর দক্ষতা — ৪
উদ্দীপক
একটি কারখানায় তিনটি ভিন্ন পণ্যের দৈনিক উৎপাদনের হিসাব থেকে তিনটি চলকযুক্ত একঘাত সমীকরণ জোট পাওয়া গেল:\n2x - y + z = 3\nx + y + z = 6\nx - y + 2z = 5
ট্রেস (Trace) কাকে বলে?জ্ঞানমূলক — ১
প্রদত্ত সমীকরণ জোটটিকে ম্যাট্রিক্স সমীকরণ AX = B আকারে প্রকাশ করো।অনুধাবনমূলক — ২
ক্র্যামারের নিয়ম অনুসারে মূল নির্ণায়ক D এবং Dx এর মান নির্ণয় করো।প্রয়োগমূলক — ৩
সমীকরণ জোটটির সম্পূর্ণ সমাধান (x, y, z) নির্ণয় করো এবং উত্তরের যথার্থতা পরীক্ষা করো।উচ্চতর দক্ষতা — ৪
উদ্দীপক
ধরি M = [[1, 0], [2, 1]] এবং N = [[0, 1], [-1, 0]] দুটি বাস্তব ম্যাট্রিক্স।
সমঘাতী ম্যাট্রিক্সের গাণিতিক শর্তটি লেখো।জ্ঞানমূলক — ১
প্রমাণ করো যে N একটি উল্লম্ব বা লম্ব (Orthogonal) ম্যাট্রিক্স।অনুধাবনমূলক — ২
M ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে M² এবং M³ নির্ণয় করো।প্রয়োগমূলক — ৩
গাণিতিক আরোহ পদ্ধতি বা প্যাটার্ন বিশ্লেষণের মাধ্যমে M^n (যেখানে n ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা) নির্ণয় করো এবং n = 50 এর মান বের করো।উচ্চতর দক্ষতা — ৪
এই অধ্যায় পড়া কি শেষ হয়েছে?
পড়া শেষ হলে চিহ্নিত করুন যাতে আপনার সার্বিক অগ্রগতি ট্র্যাক করা যায়।