মূলদ ও অমূলদ সংখ্যা
অধ্যায় চেকপয়েন্ট ও পাঠ অগ্রগতি০/১৮ সম্পন্ন
চেকপয়েন্টে ক্লিক করে সরাসরি ঐ অংশে পড়ুন এবং প্রস্তুতি সম্পন্ন করুন
### অধ্যায়ের পটভূমি ও মূল বিষয়বস্তু
গণিতের সংখ্যাজগতে গণনা ও পরিমাপের প্রয়োজনে প্রাচীনকাল থেকেই বিভিন্ন প্রকার সংখ্যার উদ্ভব হয়েছে। স্বাভাবিক সংখ্যা (যেমন: ১, ২, ৩...), পূর্ণসংখ্যা ও ভগ্নাংশ সংখ্যার সমন্বয়ে গঠিত সংখ্যাসমূহ আমাদের দৈনন্দিন জীবনে অপরিহার্য। সপ্তম শ্রেণির গণিত পাঠ্যবইয়ের প্রথম অধ্যায়ে **বর্গ, বর্গমূল, পূর্ণবর্গ সংখ্যা, মৌলিক গুণনীয়ক ও ভাগ প্রক্রিয়ায় বর্গমূল নির্ণয়, সাধারণ ও দশমিক ভগ্নাংশের বর্গমূল, মূলদ ও অমূলদ সংখ্যার ধারণা এবং সংখ্যারেখায় এদের অবস্থান** অত্যন্ত প্রাঞ্জলভাবে আলোচনা করা হয়েছে।
### ১. বর্গ ও বর্গমূলের মৌলিক ধারণা
### ২. পূর্ণবর্গ সংখ্যার ধর্ম ও একক স্থানীয় অঙ্কের বৈশিষ্ট্য
একটি স্বাভাবিক সংখ্যা m-কে যদি অন্য কোনো স্বাভাবিক সংখ্যা n-এর বর্গ (n²) আকারে প্রকাশ করা যায়, তবে m-কে **পূর্ণবর্গ সংখ্যা (Perfect Square Number)** বলা হয়। যেমন: ১৬ = ৪², ২৫ = ৫²; তাই ১৬ ও ২৫ পূর্ণবর্গ সংখ্যা।
কোনো সংখ্যাকে সেই সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যায়, তা হলো ঐ সংখ্যার বর্গ।
একটি সংখ্যা যাকে নিজের সাথে গুণ করলে নির্দিষ্ট গুণফল পাওয়া যায়; গুণফলের আদি উৎপাদক।
যে স্বাভাবিক সংখ্যাকে অন্য কোনো স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গ হিসেবে প্রকাশ করা যায় (যেমন: ১, ৪, ৯, ১৬)।
কোনো সংখ্যার যে গুণনীয়কগুলো মৌলিক সংখ্যা (যাদের ১ ও ঐ সংখ্যা ছাড়া অন্য উৎপাদক নেই)।
জোড়া বেঁধে ভাগ প্রক্রিয়ার মাধ্যমে ধাপে ধাপে বড় সংখ্যার বর্গমূল নির্ণয় করার সুনির্দিষ্ট পদ্ধতি।
যে সংখ্যাকে দুটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাত বা ভগ্নাংশ (p/q, q ≠ 0) আকারে প্রকাশ করা যায়।
যে সংখ্যাকে দুটি পূর্ণসংখ্যার ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় না এবং যার দশমিক রূপ অসীম অনাবৃত।
১ থেকে শুরু করে সকল ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা (১, ২, ৩, ৪...)।
শূন্যসহ সকল ধনাত্মক ও ঋণাত্মক অখণ্ড সংখ্যা (...-২, -১, ০, ১, ২...)।
দশমিক বিন্দু ব্যবহার করে প্রকাশিত ভগ্নাংশ সংখ্যা (যেমন: ২.৫, ০.১২৫)।
যে দশমিক ভগ্নাংশে দশমিক বিন্দুর পর নির্দিষ্ট বা সীমিত সংখ্যক অঙ্ক থাকে।
যে দশমিক ভগ্নাংশে দশমিক বিন্দুর পর অঙ্কের কোনো শেষ নেই।
লব ও হর আকারে প্রকাশিত ভগ্নাংশ (যেমন: ৩/৪, ৭/৯)।
কোনো অসীম বা জটিল মানের খুব কাছাকাছি বা ব্যবহারযোগ্য নির্দিষ্ট দশমিক স্থান পর্যন্ত মান।
একটি সরলরেখা যার ওপর বাস্তব সংখ্যাসমূহ জ্যামিতিক বিন্দুর সাহায্যে ক্রমানুসারে স্থাপন করা হয়।
ভগ্নাংশের উপরের অংশকে লব এবং নিচের বিভাজক অংশকে হর বলা হয়।
ভগ্নাংশের লব ও হরের গ.সা.গু. ১ হলে সেই রূপকে লঘিষ্ঠ আকার বলে।
যেকোনো সংখ্যার সর্বডানদিকের প্রথম স্থান বা অঙ্ক।
সৈন্য বা গাছপালাকে এমনভাবে সারিবদ্ধ করা যাতে সারির সংখ্যা ও প্রতি সারির উপাদান সংখ্যা সমান হয়।
বর্গমূল বা ভাগের প্রক্রিয়া শেষে যে উদ্বৃত্ত অংশ বাকি থেকে যায়।
একের পর এক পরপর অবস্থিত স্বাভাবিক সংখ্যা (যেমন: ৭ ও ৮, ১০ ও ১১)।
দুটি সংখ্যার বর্গের মধ্যকার বিয়োগফল (যেমন: ৫² - ৪² = ২৫ - ১৬ = ৯)।
যে ভগ্নাংশের লব ও হর উভয়েই পৃথকভাবে পূর্ণবর্গ সংখ্যা (যেমন: ৯/১৬, ২৫/৩৬)।
'√' প্রতীক যা কোনো সংখ্যার দ্বিতীয় মূল বা বর্গমূল নির্দেশ করতে আন্তর্জাতিকভাবে ব্যবহৃত হয়।
অনুশীলনীর প্রশ্নগুলো সবার জন্য খোলা — পূর্ণাঙ্গ উত্তর দেখতে সাবস্ক্রিপশন নিন
সাবস্ক্রিপশন নিনফ্রিতে উত্তর দেখতে চান?
১টি সংক্ষিপ্ত ভিডিও বিজ্ঞাপন দেখলেই এই অধ্যায়ের সমস্ত উত্তর আগামী ২৪ ঘণ্টার জন্য ফ্রি আনলক হবে!
প্রশ্ন ১১. অনুশীলনী ১.১ (প্রশ্ন ২-গ): ভাগের সাহায্যে ৩৯৬৯ এর বর্গমূল নির্ণয় কর।
উত্তর দেখতে সাবস্ক্রিপশন লাগবে।
প্রশ্ন ২২. অনুশীলনী ১.১ (প্রশ্ন ৫): ৪৬৩৯ থেকে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা বিয়োগ করলে বিয়োগফল একটি পূর্ণ বর্গসংখ্যা হবে?
উত্তর দেখতে সাবস্ক্রিপশন লাগবে।
প্রশ্ন ৩৩. অনুশীলনী ১.২ (প্রশ্ন ১১): ৫৬৭২৮ জন সৈন্য থেকে কমপক্ষে কতজন সৈন্য সরিয়ে রাখলে বা তাদের সাথে কমপক্ষে আর কতজন সৈন্য যোগ দিলে সৈন্যদলকে বর্গাকারে সাজানো যাবে?
উত্তর দেখতে সাবস্ক্রিপশন লাগবে।
প্রশ্ন ৪৪. অনুশীলনী ১.২ (প্রশ্ন ১৬): একটি ধানক্ষেতের ধান কাটতে শ্রমিক নেওয়া হলো। প্রত্যেক শ্রমিকের দৈনিক মজুরি তাদের সংখ্যার ১০ গুণ। দৈনিক মোট মজুরি ৬২৫০ টাকা হলে শ্রমিকের সংখ্যা বের কর।
উত্তর দেখতে সাবস্ক্রিপশন লাগবে।
উদ্দীপক আর প্রশ্ন সবার জন্য খোলা — পূর্ণ উত্তর দেখতে সাবস্ক্রিপশন নিন
সাবস্ক্রিপশন নিনফ্রিতে সৃজনশীলের উত্তর পড়তে চান?
১টি সংক্ষিপ্ত ভিডিও বিজ্ঞাপন দেখলেই এই অধ্যায়ের সমস্ত সৃজনশীল সমাধান আগামী ২৪ ঘণ্টার জন্য ফ্রি আনলক হবে!
উদ্দীপক
একজন কৃষক একটি নতুন ফলের বাগান করার জন্য ৫৯৫টি চারাগাছ কিনে আনেন। প্রত্যেকটি চারাগাছের ক্রয়মূল্য ১২ টাকা। তিনি চারাগাছগুলোকে সমান সংখ্যক সারি ও কলামে অর্থাৎ বর্গাকারে রোপণ করার সিদ্ধান্ত নিলেন।
১.২ সংখ্যাটি মূলদ সংখ্যা কিনা কারণসহ ব্যাখ্যা করো।জ্ঞানমূলক — ১
বাগানে প্রত্যেক সারিতে সমান সংখ্যক গাছ লাগানোর পর কয়টি চারাগাছ অবশিষ্ট থাকবে তা নির্ণয় করো।অনুধাবনমূলক — ২
চারাগাছ ক্রয়ের মোট খরচের টাকা ও মোট চারাগাছের সংখ্যার বিয়োগফলের সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?প্রয়োগমূলক — ৩
যদি কৃষক চারাগাছগুলো বর্গাকারে লাগাতে চান এবং কোনো গাছ অবশিষ্ট না রাখতে চান, তবে তাকে অতিরিক্ত কমপক্ষে কতটি চারাগাছ কিনতে হবে এবং তখন প্রতি সারিতে গাছের সংখ্যা কত হবে?উচ্চতর দক্ষতা — ৪
উদ্দীপক
একটি বার্ষিক প্যারেডে অংশগ্রহণের জন্য একটি বিশেষ সৈন্যদলকে ৬, ৭ এবং ৮ সারিতে সাজানো যায়, কিন্তু তাদেরকে বর্গাকারে সাজানো যায় না।
৮ এর সকল মৌলিক গুণনীয়ক ও মোট গুণনীয়ক নির্ণয় করো।জ্ঞানমূলক — ১
সৈন্যসংখ্যাকে কোন ক্ষুদ্রতম স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে সৈন্যদলকে বর্গাকারে সাজানো যাবে?অনুধাবনমূলক — ২
সৈন্যদলটিতে ন্যূনতম কতজন সৈন্য রয়েছে এবং ঐ দলে কমপক্ষে আর কতজন সৈন্য যোগ দিলে সৈন্যদলকে বর্গাকারে সাজানো যাবে?প্রয়োগমূলক — ৩
যদি সৈন্যদল থেকে কমপক্ষে কিছু সৈন্য সরিয়ে রেখে অবশিষ্ট সৈন্যদের বর্গাকারে সাজানো হতো, তবে প্রতি সারিতে কতজন সৈন্য থাকত এবং কতজন সৈন্যকে সরিয়ে রাখতে হতো তা বিশ্লেষণ করো।উচ্চতর দক্ষতা — ৪
উদ্দীপক
৩৮৪ এবং ২১৮৭ দুটি স্বাভাবিক সংখ্যা। শিক্ষার্থীদের মূলদ ও অমূলদ সংখ্যা এবং বর্গমূলের প্রয়োগ বোঝাতে শিক্ষক বোর্ডে সংখ্যা দুটি লিখলেন।
৫/২ সংখ্যাটি মূলদ না অমূলদ তা সংখ্যারেখার ধারণা দিয়ে সংজ্ঞায়িত করো।জ্ঞানমূলক — ১
প্রথম সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ কিনা তা মৌলিক গুণনীয়কের সাহায্যে যাচাই করো এবং একে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে গুণফল পূর্ণবর্গ হবে তা নির্ণয় করো।অনুধাবনমূলক — ২
দ্বিতীয় সংখ্যাটির সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে তা নির্ণয় করো।প্রয়োগমূলক — ৩
প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার গুণফল পূর্ণবর্গ কিনা বিশ্লেষণ করো। যদি না হয়, তবে গুণফলটিকে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে তা পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?উচ্চতর দক্ষতা — ৪
উদ্দীপক
দুটি ধনাত্মক সংখ্যা যথাক্রমে ২১৯৫২ এবং ৫৬০৫। অপরদিকে একটি সাধারণ ভগ্নাংশ ১২/২৭।
১২/২৭ এর বর্গমূল মূলদ সংখ্যা কিনা প্রমাণ করো।জ্ঞানমূলক — ১
প্রথম সংখ্যাটিকে কোন ক্ষুদ্রতম স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে? ভাগফলটির বর্গমূল নির্ণয় করো।অনুধাবনমূলক — ২
দ্বিতীয় সংখ্যাটির সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে তা নির্ণয় করো।প্রয়োগমূলক — ৩
যদি দ্বিতীয় সংখ্যাটি থেকে কোনো ক্ষুদ্রতম সংখ্যা বিয়োগ করা হয় তবে তা পূর্ণবর্গ হয়। যোগ ও বিয়োগ করার জন্য প্রয়োজনীয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দুটির অনুপাত নির্ণয় করো।উচ্চতর দক্ষতা — ৪
এই অধ্যায় পড়া কি শেষ হয়েছে?
পড়া শেষ হলে চিহ্নিত করুন যাতে আপনার সার্বিক অগ্রগতি ট্র্যাক করা যায়।