উচ্চতর গণিত• অধ্যায় ১

সেট ও ফাংশন

নবম শ্রেণিউচ্চতর গণিতঅধ্যায় ১✓ ফ্রি ডেমো

সেট ও ফাংশন

মূল পাঠ্যবই (PDF)

অধ্যায় চেকপয়েন্ট ও পাঠ অগ্রগতি০/৬ সম্পন্ন

চেকপয়েন্টে ক্লিক করে সরাসরি ঐ অংশে পড়ুন এবং প্রস্তুতি সম্পন্ন করুন

সামগ্রিক পাঠ সমাপ্তি০%
১
চেকপয়েন্ট ১ / ৬
ভূমিকা ও মূল বিষয়বস্তু

## সেট ও ফাংশন — সম্পূর্ণ অধ্যায় সারসংক্ষেপ

### ১. সেটের মৌলিক ধারণা ও প্রকাশের পদ্ধতি

otin A$।

### ২. বিভিন্ন প্রকার সেট

### ৩. সেটের প্রক্রিয়া (Set Operations)

otin B\}$।

otin A\}$।

### ৪. সেটের বীজগণিতীয় নিয়মাবলি

**সেটের সংজ্ঞা** বাস্তব বা চিন্তা জগতের বস্তুর যেকোনো সুনির্ধারিত সংগ্রহকে সেট (Set) বলে। সেটের উপাদানগুলোকে ইংরেজি বর্ণমালার ছোট হাতের অক্ষর ($a, b, c, \dots$) বা সংখ্যা দ্বারা এবং সেটকে বড় হাতের অক্ষর ($A, B, C, \dots$) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। কোনো উপাদান $x$ সেট $A$-এর সদস্য হলে লেখা হয় $x \in A$ (পড়তে হয়: $x$ belongs to $A$); সদস্য না হলে লেখা হয় $x
**তালিকা পদ্ধতি (Roster or Tabular Method)** এ পদ্ধতিতে সেটের সকল উপাদান দ্বিতীয় বন্ধনী $\{ \}$ দ্বারা আবদ্ধ থাকে এবং উপাদানগুলো কমা (,) দিয়ে আলাদা করা হয়। যেমন: $A = \{1, 3, 5, 7\}$।
**সেট গঠন পদ্ধতি (Set Builder Method)** উপাদান নির্দিষ্ট করে না দিয়ে সাধারণ ধর্মের উল্লেখ থাকে। যেমন: $B = \{x : x ext{ স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যা এবং } x < 10\}$।
**সার্বিক সেট (Universal Set, $U$)** আলোচনাধীন সকল সেট যদি একটি নির্দিষ্ট সেটের উপসেট হয়, তবে ঐ নির্দিষ্ট সেটকে সার্বিক সেট বলে।
**উপসেট (Subset, $\subseteq$) ও প্রকৃত উপসেট (Proper Subset, $\subset$):** কোনো সেট $A$-এর সকল উপাদান সেট $B$-এর উপাদান হলে $A$-কে $B$-এর উপসেট বলা হয় ($A \subseteq B$)। যদি $A \subseteq B$ হয় এবং $B$-এ অন্তত এমন একটি উপাদান থাকে যা $A$-তে নেই, তবে $A$-কে $B$-এর প্রকৃত উপসেট বলে ($A \subset B$)। ফাঁকা সেট যেকোনো সেটের উপসেট। কোনো সেটের সদস্য সংখ্যা $n$ হলে উপসেটের সংখ্যা $2^n$ এবং প্রকৃত উপসেটের সংখ্যা $2^n - 1$।
**ফাঁকা সেট (Empty Set, $\emptyset$ বা $\{ \}$)** যে সেটের কোনো উপাদান নেই।
**সসীম বা শান্ত সেট (Finite Set)** যে সেটের উপাদান সংখ্যা গণনা করে নির্ধারণ করা যায়।
**অসীম বা অনন্ত সেট (Infinite Set)** যে সেটের উপাদান সংখ্যা গণনা করে শেষ করা যায় না। যেমন: স্বাভাবিক সংখ্যার সেট $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$, পূর্ণসংখ্যার সেট $\mathbb{Z}$, মূলদ সংখ্যার সেট $\mathbb{Q}$ এবং বাস্তব সংখ্যার সেট $\mathbb{R}$।
**সমতুল সেট (Equivalent Sets, $A \sim B$)** যদি দুটি সেট $A$ ও $B$-এর উপাদানগুলোর মধ্যে একটি এক-এক মিল (one-to-one correspondence) স্থাপন করা যায়, তবে সেট দুটিকে সমতুল সেট বলা হয়। সকল সমান সেটই সমতুল, কিন্তু সকল সমতুল সেট সমান নাও হতে পারে।
**শক্তি সেট (Power Set, $P(A)$)** কোনো সেট $A$-এর সকল উপসেট নিয়ে গঠিত সেটকে $A$-এর শক্তি সেট বলে। $A$-এর উপাদান সংখ্যা $n$ হলে $P(A)$-এর উপাদান সংখ্যা $2^n$।
**সংযোগ সেট (Union of Sets, $A \cup B$)** $A$ ও $B$-এর সকল উপাদান নিয়ে গঠিত সেট। $A \cup B = \{x : x \in A ext{ অথবা } x \in B\}$।
**ছেদ সেট (Intersection of Sets, $A \cap B$)** $A$ ও $B$-এর সাধারণ (উভয় সেটে বিদ্যমান) উপাদান নিয়ে গঠিত সেট। $A \cap B = \{x : x \in A ext{ এবং } x \in B\}$।
**অন্তর সেট (Difference of Sets, $A \setminus B$ বা $A - B$):** $A$-এর যেসকল উপাদান $B$-তে নেই, তাদের নিয়ে গঠিত সেট। $A \setminus B = \{x : x \in A ext{ এবং } x
**পূরক সেট (Complement of a Set, $A'$ বা $A^c$)** সার্বিক সেট $U$ থেকে সেট $A$-এর উপাদান বাদ দিলে গঠিত সেট। $A' = U \setminus A = \{x : x \in U ext{ এবং } x
**নিচ্ছেদ সেট (Disjoint Sets)** যদি দুটি সেট $A$ ও $B$-এর মধ্যে কোনো সাধারণ উপাদান না থাকে, অর্থাৎ $A \cap B = \emptyset$ হয়, তবে তাদেরকে পরস্পর নিচ্ছেদ সেট বলে।
**বিনিময় নিয়ম (Commutative Laws)** $A \cup B = B \cup A$ এবং $A \cap B = B \cap A$।
**সংযোগ নিয়ম (Associative Laws)** $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$ এবং $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$।
**বণ্টন নিয়ম (Distributive Laws)** $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ এবং $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$।
**ডিমরগ্যানের নিয়ম (De Morgan's Laws)**
চেকপয়েন্ট ১ এর ৬
মনে রাখার মতো তথ্য
১বাস্তব বা চিন্তা জগতের বস্তুর যেকোনো সুনির্ধারিত সংগ্রহকে সেট (Set) বলা হয়।
২ফাঁকা সেট (∅) যেকোনো সেটেরই একটি উপসেট।
৩কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে, তার উপসেটের সংখ্যা 2ⁿ এবং প্রকৃত উপসেটের সংখ্যা 2ⁿ - 1।
৪দুটি সেট A ও B-এর মধ্যে এক-এক মিল স্থাপন করা গেলে তাদের সমতুল সেট (A ~ B) বলা হয়; সকল সমান সেটই সমতুল, কিন্তু সমতুল সেট সমান নাও হতে পারে।
৫স্বাভাবিক সংখ্যার সেট N একটি অনন্ত বা অসীম সেট এবং যেকোনো অসীম সেটের সাথে N-এর উপসেটের এক-এক মিল থাকে।
৬ডিমরগ্যানের সূত্রাবলি: (A ∪ B)' = A' ∩ B' এবং (A ∩ B)' = A' ∪ B'।
৭সেটের উপাদান সংখ্যার সূত্র: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B); নিচ্ছেদ সেটের ক্ষেত্রে n(A ∩ B) = 0।
৮তিনটি সেটের জন্য: n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(B ∩ C) - n(C ∩ A) + n(A ∩ B ∩ C)।
৯অন্বয় R-এর ক্রমজোড়গুলোর উপাদান স্থান পরিবর্তন করলে বিপরীত অন্বয় R⁻¹ পাওয়া যায়; Dom R⁻¹ = Range R এবং Range R⁻¹ = Dom R।
১০ফাংশন f: A → B একটি বিশেষ ধরনের অন্বয়, যেখানে ডোমেন A-এর প্রতিটি উপাদানের কেবল একটিই প্রতিচ্ছবি থাকে।
১১একটি ফাংশন এক-এক হবে যদি এবং কেবল যদি f(x₁) = f(x₂) হলে x₁ = x₂ হয়।
১২ফাংশন সার্বিক (onto) হবে যদি এবং কেবল যদি রেঞ্জ ও সহ-ডোমেন সমান হয় (Range f = B)।
১৩একটি ফাংশনের বিপরীত ফাংশন f⁻¹ বিদ্যমান থাকার একমাত্র শর্ত হলো ফাংশনটিকে এক-এক ও সার্বিক (bijective) হতে হবে।
১৪f(x) = √(ax + b) ফাংশনের ডোমেন নির্ণয়ে ax + b ≥ 0 হতে হয় এবং রেঞ্জ সর্বদা অঋণাত্মক বাস্তব সংখ্যা [0, ∞)।
১৫f(x) = (ax + b)/(cx + d) আকারের ভগ্নাংশীয় ফাংশনের ডোমেন R \ {-d/c} এবং রেঞ্জ R \ {a/c}।
শব্দার্থ ও টীকা
সার্বিক সেট (Universal Set)

আলোচনাধীন সকল সেট যে নির্দিষ্ট সেটের উপসেট হয়, তাকে সার্বিক সেট (U) বলে।

উপসেট (Subset)

কোনো সেটের উপাদান থেকে গঠিত যেকোনো সেটকে ঐ সেটের উপসেট (⊆) বলে।

প্রকৃত উপসেট (Proper Subset)

যদি কোনো উপসেটে মূল সেট অপেক্ষা অন্তত একটি উপাদান কম থাকে (⊂)।

ফাঁকা সেট (Empty Set)

যে সেটের কোনো উপাদান নেই, একে ∅ বা {} দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

সসীম বা শান্ত সেট (Finite Set)

যে সেটের উপাদান সংখ্যা গণনা করে সুনির্দিষ্টভাবে নির্ধারণ করা যায়।

অসীম বা অনন্ত সেট (Infinite Set)

যে সেটের উপাদান সংখ্যা গণনা করে শেষ করা যায় না (যেমন: N, Z, Q, R)।

সমতুল সেট (Equivalent Sets)

দুটি সেটের উপাদান সংখ্যার মধ্যে এক-এক মিল স্থাপন করা সম্ভব হলে তারা সমতুল (A ~ B)।

শক্তি সেট (Power Set)

কোনো সেটের সকল উপসেট নিয়ে গঠিত সেটকে শক্তি সেট P(A) বলে; এর সদস্য সংখ্যা 2ⁿ।

সংযোগ সেট (Union of Sets)

দুটি বা ততোধিক সেটের সকল উপাদান নিয়ে গঠিত সেট (A ∪ B)।

ছেদ সেট (Intersection of Sets)

দুটি বা ততোধিক সেটের সাধারণ বা কমন উপাদান নিয়ে গঠিত সেট (A ∩ B)।

অন্তর সেট (Difference of Sets)

একটি সেট থেকে অন্য সেটের সাধারণ উপাদান বাদ দিলে প্রাপ্ত সেট (A \ B বা A - B)।

পূরক সেট (Complement of Set)

সার্বিক সেট U থেকে প্রদত্ত সেটের উপাদান বাদ দিলে প্রাপ্ত সেট (A' = U \ A)।

নিচ্ছেদ সেট (Disjoint Sets)

যদি দুটি সেটের মধ্যে কোনো সাধারণ উপাদান না থাকে, অর্থাৎ A ∩ B = ∅ হয়।

কার্তেসীয় গুণজ (Cartesian Product)

দুটি সেটের উপাদান নিয়ে গঠিত সকল ক্রমজোড়ের সেট (A × B = {(x, y) : x ∈ A, y ∈ B})।

অন্বয় (Relation)

দুটি সেটের কার্তেসীয় গুণজ A × B-এর যেকোনো অশূন্য উপসেট R-কে একটি অন্বয় বলে।

ডোমেন (Domain)

কোনো অন্বয় বা ফাংশনের ক্রমজোড়গুলোর প্রথম উপাদানসমূহের সেট (Dom f)।

রেঞ্জ (Range)

কোনো অন্বয় বা ফাংশনের ক্রমজোড়গুলোর দ্বিতীয় উপাদানসমূহের সেট (Range f)।

সহ-ডোমেন (Codomain)

ফাংশন f: A → B-এর ক্ষেত্রে সমগ্র B সেটটি হলো সহ-ডোমেন; রেঞ্জ সর্বদা সহ-ডোমেনের উপসেট।

ফাংশন (Function)

এমন একটি গাণিতিক সম্পর্ক যাতে ডোমেনের প্রতিটি উপাদানের জন্য সহ-ডোমেনে একটি ও কেবল একটি প্রতিচ্ছবি থাকে।

এক-এক ফাংশন (Injective Function)

যে ফাংশনে ডোমেনের ভিন্ন ভিন্ন উপাদানের জন্য সহ-ডোমেনে ভিন্ন ভিন্ন প্রতিচ্ছবি পাওয়া যায়।

সার্বিক ফাংশন (Surjective/Onto)

যে ফাংশনের রেঞ্জ এবং সহ-ডোমেন পরস্পর সমান হয় (Range f = Codomain B)।

বিপরীত ফাংশন (Inverse Function)

এক-এক ও সার্বিক ফাংশন f: A → B-এর জন্য f⁻¹: B → A বিদ্যমান বিপরীত সম্পর্ক।

অভেদক ফাংশন (Identity Function)

যে ফাংশনে প্রতিটি উপাদানের প্রতিচ্ছবি ঐ উপাদান নিজেই হয়, অর্থাৎ f(x) = x।

ধ্রুবক ফাংশন (Constant Function)

যে ফাংশনে ডোমেনের সকল উপাদানের জন্য কেবল একটি নির্দিষ্ট মান বা প্রতিচ্ছবি পাওয়া যায়, f(x) = c।

উল্লম্ব রেখা পরীক্ষা (Vertical Line Test)

লেখচিত্রে y-অক্ষের সমান্তরাল রেখা সর্বোচ্চ একটি বিন্দুতে ছেদ করলে তা ফাংশন নির্দেশ করে।

বইয়ের অনুশীলনীর উত্তর

অনুশীলনীর প্রশ্নগুলো সবার জন্য খোলা — পূর্ণাঙ্গ উত্তর দেখতে সাবস্ক্রিপশন নিন

সাবস্ক্রিপশন নিন

ফ্রিতে উত্তর দেখতে চান?

১টি সংক্ষিপ্ত ভিডিও বিজ্ঞাপন দেখলেই এই অধ্যায়ের সমস্ত উত্তর আগামী ২৪ ঘণ্টার জন্য ফ্রি আনলক হবে!

প্রশ্ন ১অনুশীলনী ১.১ (প্রশ্ন ৬): একটি ভেনচিত্রে A ও B সেটের উপাদানগুলোর সংখ্যা দেখানো হয়েছে। n(A) = 3x + x এবং n(B) = x + 2x + 8। যদি n(A) = n(B) হয়, তবে নির্ণয় করো: (ক) x এর মান, (খ) n(A ∪ B), (গ) n(B \ A)।

উত্তর দেখতে সাবস্ক্রিপশন লাগবে।

প্রশ্ন ২অনুশীলনী ১.১ (প্রশ্ন ১৭): কোনো শ্রেণির ৩০ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে ১৯ জন অর্থনীতি, ১৭ জন ভূগোল, ১১ জন পৌরনীতি, ১২ জন অর্থনীতি ও ভূগোল, ৪ জন পৌরনীতি ও ভূগোল, ৭ জন অর্থনীতি ও পৌরনীতি এবং ৩ জন তিনটি বিষয়ই নিয়েছে। কতজন শিক্ষার্থী তিনটি বিষয়ের কোনটিই নেয়নি?

উত্তর দেখতে সাবস্ক্রিপশন লাগবে।

প্রশ্ন ৩অনুশীলনী ১.২ (প্রশ্ন ৭-ক): f: R → R একটি ফাংশন যা f(x) = ax + b; a, b ∈ R, a ≠ 0 দ্বারা সংজ্ঞায়িত হলে, দেখাও যে, f এক-এক এবং সার্বিক।

উত্তর দেখতে সাবস্ক্রিপশন লাগবে।

প্রশ্ন ৪অনুশীলনী ১.২ (প্রশ্ন ১২): f: R → R এবং g: R → R ফাংশন দুটি যথাক্রমে f(x) = 3x + 3 এবং g(x) = (x - 3)/3 দ্বারা সংজ্ঞায়িত। (ক) g⁻¹(-3) এর মান নির্ণয় করো। (খ) f(x) সার্বিক ফাংশন কিনা তা নির্ধারণ করো। (গ) দেখাও যে, g = f⁻¹।

উত্তর দেখতে সাবস্ক্রিপশন লাগবে।

উদ্দীপক আর প্রশ্ন সবার জন্য খোলা — পূর্ণ উত্তর দেখতে সাবস্ক্রিপশন নিন

সাবস্ক্রিপশন নিন

ফ্রিতে সৃজনশীলের উত্তর পড়তে চান?

১টি সংক্ষিপ্ত ভিডিও বিজ্ঞাপন দেখলেই এই অধ্যায়ের সমস্ত সৃজনশীল সমাধান আগামী ২৪ ঘণ্টার জন্য ফ্রি আনলক হবে!

সৃজনশীল প্রশ্ন ১১০ নম্বর
NCTB পাঠ্যবইয়ের নমুনা প্রশ্ন উত্তর প্রিমিয়াম

উদ্দীপক

একটি বাস্তব ফাংশন f(x) = √(x - 4) দ্বারা সংজ্ঞায়িত।

ক

ফাংশনটির ডোমেন নির্ণয় করো।জ্ঞানমূলক — ১

খ

f(x) এক-এক ফাংশন কিনা তা নির্ধারণ করো।অনুধাবনমূলক — ২

গ

ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় করো এবং দেখাও যে f: [4, ∞) → [0, ∞) হলে f⁻¹(x) বিদ্যমান।প্রয়োগমূলক — ৩

ঘ

f⁻¹(x) ফাংশন কিনা তা লেখচিত্র অঙ্কন করে উল্লম্ব রেখা পরীক্ষার মাধ্যমে যাচাই করো।উচ্চতর দক্ষতা — ৪

সৃজনশীল প্রশ্ন ২১০ নম্বর
উত্তর প্রিমিয়াম

উদ্দীপক

কোনো বিদ্যালয়ের নবম শ্রেণির ৫০ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে ২৯ জন জীববিজ্ঞান, ২৪ জন উচ্চতর গণিত এবং ১১ জন উভয় বিষয় নিয়েছে। অপরদিকে একটি সার্বিক সেট U = {x ∈ N : x ≤ 10}, A = {x : x মৌলিক সংখ্যা} এবং B = {x : x বিজোড় সংখ্যা}।

ক

A ও B সেট দুটিকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করো।জ্ঞানমূলক — ১

খ

প্রমাণ করো যে, (A ∪ B)' = A' ∩ B'।অনুধাবনমূলক — ২

গ

ভেনচিত্রের সাহায্যে দেখাও যে কতজন শিক্ষার্থী জীববিজ্ঞান বা উচ্চতর গণিত বিষয়ের কোনোটিই নেয়নি।প্রয়োগমূলক — ৩

ঘ

A সেটের শক্তি সেট P(A) নির্ণয় করো এবং দেখাও যে P(A)-এর উপাদান সংখ্যা 2ⁿ সূত্রকে সমর্থন করে।উচ্চতর দক্ষতা — ৪

সৃজনশীল প্রশ্ন ৩১০ নম্বর
উত্তর প্রিমিয়াম

উদ্দীপক

দুটি বাস্তব ফাংশন f: R \ {1} → R এবং g: R → R যথাক্রমে f(x) = (2x + 2)/(x - 1) এবং g(x) = 3x - 4 দ্বারা সংজ্ঞায়িত।

ক

g⁻¹(5) এর মান নির্ণয় করো।জ্ঞানমূলক — ১

খ

f(x) এক-এক ফাংশন কিনা তা গাণিতিকভাবে প্রমাণ করো।অনুধাবনমূলক — ২

গ

f(x) ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় করো।প্রয়োগমূলক — ৩

ঘ

f⁻¹(x) নির্ণয় করো এবং দেখাও যে f⁻¹(-2) = 0।উচ্চতর দক্ষতা — ৪

সৃজনশীল প্রশ্ন ৪১০ নম্বর
উত্তর প্রিমিয়াম

উদ্দীপক

সার্বিক সেট U = {x ∈ N : x ≤ 8}, A = {x : x² - 5x + 6 = 0}, B = {x : x হলো 8-এর গুণনীয়ক} এবং একটি অন্বয় S = {(x, y) : x ∈ A, y ∈ B এবং y = 2x}।

ক

A সেটটিকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করো।জ্ঞানমূলক — ১

খ

কার্তেসীয় গুণজ A × B নির্ণয় করো এবং S অন্বয়টি তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করো।অনুধাবনমূলক — ২

গ

S অন্বয়ের ডোমেন, রেঞ্জ এবং বিপরীত অন্বয় S⁻¹ নির্ণয় করো।প্রয়োগমূলক — ৩

ঘ

অন্বয় S ফাংশন কিনা ব্যাখ্যা করো এবং ভেনচিত্রে A থেকে B-তে অন্বয়টির চিত্ররূপ দেখাও।উচ্চতর দক্ষতা — ৪

এই অধ্যায় পড়া কি শেষ হয়েছে?

পড়া শেষ হলে চিহ্নিত করুন যাতে আপনার সার্বিক অগ্রগতি ট্র্যাক করা যায়।